решить уравнение cos4x+2sin4x=1

Применим формулы двойного угла:

cos^2 (2x) - sin^2 (2x) + 4 sin (2x) · cos (2x) - sin^2 (2x) - cos^2 (2x) = 0;

-2sin^2 (2x) + 4 sin (2x) · cos (2x)) = 0;

2sin (2x) (2cos (2x) - sin (2x)) = 0;

sin (2x) = 0; = => 2x = пn; x = пn/2, n∈Z;

2cos (2x) - sin (2x) = 0;

Делим на cos (2x);

cos (2x) ≠ 0; = => (2x) ≠ п/2 + пk; x ≠ п/4 + пk/2, k∈Z;

tg (2x) = 2; = => 2x = arctg 2 + пm; x = (arctg 2) / 2 + пm/2, m∈Z.

Ответ: x = пn/2, n∈Z; x = (arctg 2) / 2 + пm/2, m∈Z.

Давайте решим тригонометрическое уравнение cos 4x + 2sin 4x = 1.

Алгоритм действий для решения тригонометрического уравнения преобразуем уравнение используя тригонометрические формулы; найдем область допустимых значений уравнения; перейдем к решению двух уравнений; решим простейшие тригонометрические уравнения. Преобразуем уравнение с помощью тригонометрических формул

Представим коэффициенты при переменных в виде произведения числа 2 и 2x:

cos (2 * 2x) + 2sin (2 * 2x) - 1 = 0.

К полученным слагаемым применим формулу косинус и синус двойного угла, а единицу, перенесенную из правой части уравнения, распишем с помощью основного тригонометрического тождества.

cos² 2x - sin² 2x + 4sin 2x * cos 2x - (cos² 2x + sin² 2x) = 0;

cos² 2x - sin² 2x + 4sin 2x * cos 2x - cos² 2x - sin² 2x = 0;

Приведем подобные слагаемые:

-2sin² 2x + 4sin 2x * cos 2x = 0;

Чтобы избавится от минуса перед первым слагаемым умножим на - 1 обе части уравнения:

2sin² 2x - 4sin 2x * cos 2x = 0.

Теперь разделим на cos² 2x обе части уравнения.

Для этого найдем область допустимых значений:

cos 2x ≠ 0,

2x ≠ π/2 + πn,

x ≠ π/4 + π/2n, где n - целое число.

Делим обе части уравнения на cos² 2x

2tg² 2x - 4tg 2x = 0;

Представим в виде произведения левую часть уравнения.

Вынесем 2tg 2x за скобки:

2tg 2x * (tg 2x - 2) = 0.

Для нахождения корней перейдем к решению двух уравнений:

1) 2tg 2x = 0;

tg 2x = 0;

2x = π + πn,

x = π/2 + π/2n, где n - целое число.

2) tg 2x - 2 = 0;

tg 2x = 2;

2x = arctg 2 + πn,

x = 1/2arctg 2 + π/2n, где n - целое число.