Около равнобедренного треугольника ABC с углом при основании 30 градусов и боковой стороной 10 описана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Необходимые знания Центральный угол в два раза больше вписанного угла. У равностороннего треугольника углы равны 60 градусов. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой (и медианой). Решение

Предположим, что сторона АС - основание треугольника.

Рассмотрим, где находится центр описанной около треугольника окружности. Найдем величину угла В: 180 - (30 + 30) = 120. Угол В = 120 градусов. Это вписанный угол, его центральный угол равен 120 * 2 = 240 градусов, это больше 180 градусов, значит центр описанной около треугольника окружности лежит снаружи треугольника.

Рассмотрим углы ВСА и ВАС (по 30 градусов каждый). Это вписанные углы, их центральные углы ВОА и ВОС соответственно. Центральный угол в 2 раза больше вписанного, значит ВОА = ВОС = 60 градусов.

Радиус ВО является биссектрисой (медианой и высотой) в треугольнике АВС, значит углы СВО = АВО = 60 градусов (120/2).

Рассмотрим треугольник ВОС: ОВ = ОС (это радиусы окружности), значит Треугольник ВОС равнобедренный. Угол СВО = 60 градусов, а это угол при основании в равнобедренном треугольнике, значит и угол ВСО = 60 градусов, и угол ВОС равен 60 градусов. Следовательно, треугольник ВОС - равносторонний.

И следовательно, СО (радиус) = ВС (по условию) = 10.

Ответ

Радиус равен 10

1. С вершины В треугольника АВС опустим высоту ВН на основание АС. В треугольнике АВН угол АВН равен 90 - 30 = 60 градусов.

2. Соединим центр окружности О с вершинами А и В треугольника АВС. Отрезок ОА и ОВ являются радиусами окружности.

3. Рассмотрим треугольник АВО. Угол ВАО равен углу ОВА и равен 60 градусов. Угол АОВ равен

180 - (60 + 60) = 60 градусов. Треугольник АВО равносторонний, то есть АО равно ОВ, равно АВ, равно 10 сантиметров.

Ответ: Радиус окружности равен десять сантиметров.