5. Докажите, что значение выражения 1 делённое на 2√7-1 и минус 1 делённое на 2√7+1 есть число рациональное.

В задании требуется доказать, что значение выражения 1 / (2√ (7) - 1) - 1 / (2√ (7) + 1), которого обозначим через А, является рациональным числом. Анализ данного выражения показывает, что оно представляет собой разность двух дробей. Согласно правила вычисления разности дробей необходимо найти общий знаменатель. Очевидно, что общим знаменателем для этих дробей будет произведение их знаменателей. Итак, А = [ (2√ (7) + 1) - (2√ (7) - 1) ] / [ (2√ (7) - 1) * (2√ (7) + 1) ]. Числитель полученный дроби равен 2√ (7) + 1 - 2√ (7) + 1 = 2. Для того, чтобы раскрыть скобки в знаменателе сначала воспользуемся формулой сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов), а затем свойствами арифметического квадратного корня. Имеем А = 2 / [ (2√ (7)) ² - 1²] = 2 / [ (2² * (√ (7)) ² - 1] = 2 / (4 * 7 - 1) = 2/27. Рациональность числа 2/27 очевидна. Что и требовалось доказать.