2tan^2 x+5tanx+2/1+2tanx=0

Решим уравнение:

2*tg² (x) + 5*tg (x) + 2/1 + 2*tg (x) = 0.

Суммируем однородные члены уравнения, имеем:

2*tg² (x) + 7*tg (x) + 2 = 0.

Произведем замену: tgx = z, получим квадратное уравнение:

2*z² + 7*z + 2 = 0.

Найдем дискриминант:

D = b² - 4ac,

D = 7² - 4*2*2 = 49 - 16 = 33>0.

Вычислим корни квадратного уравнения:

z_{1, 2} = (-b ± √D) / (2*a),

z1 = (-7 + √33) / 4, z2 = (-7 - √33) / 4.

Произведем обратную замену: z = tgx, имеем:

tgx = (-7 + √33) / 4 ⇒ x₁ = arctg ((-7 + √33) / 4) + πn, n∈Z

или

tgx = (-7 - √33) / 4 ⇒ x₂ = arctg ((-7 - √33) / 4) + πn, n∈Z,

x₂ = - arctg ((7 + √33) / 4) + πn, n∈Z.

Ответ. x₁ = arctg ((-7 + √33) / 4) + πn, n∈Z; x₂ = - arctg ((7 + √33) / 4) + πn, n∈Z.