Решите неравенства под корнем х+1 < х-1 под корнем х+1 <х+1 под корнем х+1> x-1 под корнем 2x+1 >x-1 под корнем 3-x>x-1

1) √ (х + 1) < х - 1.

Возведем неравенство в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(√ (х + 1)) ^2 < (х - 1) ^2.

х + 1 < х^2 - 2 х + 1;

х^2 - 2 х + 1 > х + 1;

х^2 - 2 х + 1 - х - 1 > 0;

х^2 - 3 х > 0;

х (х - 3) > 0.

Решим неравенство методом интервалов.

Ноходим корни неравенства:

х = 0.

х - 3 = 0; х = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки 0 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) 0 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства > 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (+).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; 0) и (3; + ∞).

Далее работаем по образцу.

2) √ (х + 1) < х + 1.

х + 1 < х^2 + 2 х + 1;

х^2 + 2 х + 1 > х + 1;

х^2 + 2 х + 1 - х - 1 > 0;

х^2 + х > 0;

х (х + 1) > 0.

х = 0; х = - 1.

(+) - 1 (-) 0 (+).

Так как знак неравенства > 0, то решением неравенства будут промежутки (-∞; - 1) и (0; + ∞).

3) √ (х + 1) > x - 1.

х + 1 > х^2 - 2 х + 1;

х^2 - 2 х + 1 < х + 1;

х^2 - 2 х + 1 - х - 1 < 0;

х^2 - 3 х < 0;

х (х - 3) < 0.

х = 0; х = 3.

(+) 0 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства < 0, то решением неравенства будет промежуток (0; 3).

4) √ (2x + 1) > x - 1.

2 х + 1 > x^2 - 2 х + 1;

x^2 - 2 х + 1 < 2 х + 1;

x^2 - 2 х + 1 - 2 х - 1 < 0;

x^2 - 4 х < 0;

х (х - 4) < 0.

х = 0; х = 4.

(+) 0 (-) 4 (+).

Так как знак неравенства < 0, то решением неравенства будет промежуток (0; 4).

5) √ (3 - x) > x - 1.

3 - х > x^2 - 2 х + 1;

x^2 - 2 х + 1 < 3 - х;

x^2 - 2 х + 1 - 3 + х < 0;

x^2 - х - 2 < 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - х - 2, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - х - 2 = 0.

D = (-1) ^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 (√D = 3);

х₁ = (1 - 3) / 2 = - 2/2 = - 1.

х₂ = (1 + 3) / 2 = 4/2 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки - 1 и 2, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-1; 2).