Найдите сумму 1^2-2^2+3^2-4^2 + ... 99^2-100^2

Преобразуем исходное выражение, используя формулу разности квадратов a² - b² = (a - b) * (a + b).

1² - 2² + 3² - 4² + ... 99² - 100² = (1 - 2) * (1 + 2) + (3 - 4) * (3 + 4) + ... + (99 - 100) * (99 + 100) = (-1) * (1 + 2) + (-1) * (3 + 4) + ... + (-1) * (99 + 100) = (-1) * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100).

Выражение 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 представляет собой сумму первых 100 членов арифметической прогрессии аn с первым членом а1 = 1 и разностью d = 1.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 100, получаем:

S100 = (2 * a1 + d * (100 - 1)) * 100 / 2 = (2 * a1 + d * 99) * 50 = (2 * 1 + 1 * 99) * 50 = 101 * 50 = 5050.

Следовательно, исходная сумма равна:

1² - 2² + 3² - 4² + ... 99² - 100² = (-1) * 5050 = - 5050.

Для решения этой задачи нам надо преобразовать имеющуюся числовую последовательность, используя формулу разности квадратов.

Преобразование последовательности

Имеем последовательность: 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2;

Есть 100 членов последовательности, каждую пару из которых можно представить в виде разности квадратов:

a1 = 1^2 - 2^2 = (1 - 2) (1 + 2) = - 3;

a2 = 3^2 - 4^2 = (3 - 4) (3 + 4) = - 7;

a3 = 5^2 - 6^2 = (5 - 6) (5 + 6) = - 11;

a4 = 7^2 - 8^2 = (7 - 8) (7 + 8) = - 15;

Пятидесятый член этой последовательности будет равен:

a50 = 99^2 - 100^2 = (99 - 100) (99 + 100) = - 199;

Посчитаем сумму членов последовательности

У нас образовалась арифметическая прогрессия такая, что:

a1 = - 3 - первый член арифметической прогрессии; a50 = - 199 - пятидесятый член арифметической прогрессии; d = - 4 - разность прогрессии; n = 50 - количество суммируемых членов.

Тогда сумму n членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:

Sn = ((a1 + an) / 2) · n = ((-3 - 199) / 2) · 50 = (-101) · 50 = - 5050;

Ответ: - 5050;