В Стране 100 городов. Любые два города Страны соединены дорогой. От Страны отделилась независимая Республика, причем количество дорог, соединяющих города этой Республики, равно количеству дорог, ведущих из Республики в остальные города Страны. Сколько городов в Республике?

Для решения этой задачи сосчитаем количество дорог, которые имеются между городами, принадлежащими независимой республике и приравняем их числу дорог, ведущих в остальные города страны.

Дороги между городами в независимой республике m - количество городов, которые отошли независимой республике; s - количество дорог, соединяющих города независимой республики; s1 - количество дорог, ведущих в другие города страны;

Каждый из m городов в независимой республике соединен дорогой с (m - 1) другим городом в республике, при этом число дорог мы посчитаем дважды, тогда число дорог s равно:

s = m (m - 1) / 2;

Дороги, ведущие в другие города страны

После отделения независимой республики в стране осталось 100 - m городов, тогда из независимой республики к ним ведет следующее количество дорог:

s1 = m (100 - m);

В соответствии с условиями задачи, приравняем количество дорог, соединяющих города независимой республики, количеству дорог, ведущих в другие города страны;

s = s1;

m (m - 1) / 2 = m (100 - m);

m ≠ 0;

Разделим обе части уравнения на m:

m - 1 = 2 (100 - m);

3m = 201;

m = 67 городов;

Ответ: В независимой республике 67 городов.

Пусть в Республике х городов. Тогда они соединены х (х - 1) / 2 дорогами (первый город можно выбрать х способами, второй х-1 способами, потому что нужно взять какой-то другой, и разделить на два, потому что дорога из А в Б и дорога из Б в А - это одна и та же дорога).

При этом за пределами Республики осталось 100 - х городов. Соответственно, из Республики в другие города ведёт х (100 - х) дорог - по одной из каждого города Республики в каждый город за её пределами.

По условию задачи эти величины равны:

х (х - 1) / 2 = х (100 - х);

х^2 - х = 200 х - 2 х^2;

3 х^2 - 201 х = 0.

Рассмотрим вариант х = 0. В принципе он возможен, и удовлетворяет условию. Если отделился кусок страны, в пределах которого не находится ни один город, то дорог, соединяющих такие города, будет 0. И столько же дорог соединяют эти отсутствующие города с городами остальной страны.

Другой вариант:

3 х - 201 = 0;

3 х = 201;

х = 67.

Ответ: либо в Республике вообще нет городов, либо в ней находится 67 городов.