В квадрате abcd на середине bc и cd отмечены точки m и n которые соеденены с вершиной a найдите угол man

По условию, М - середина ВС, N - середина CD.

Рассмотрим треугольник АВМ (угол В равен 90°, так как у квадрата все углы прямые). ВМ в два раза меньше АВ (так как ВМ = СМ, а ВС = АВ). Пусть сторона квадрата равна а. Тогда АВ = а, ВМ = а/2.

По теореме Пифагора найдем длина АМ:

АМ² = BM² + AB² = (a/2) ² + a² = a²/4 + a² = (5a²) / 4.

AM = √ ((5a²) / 4) = a√5/2.

Треугольник ADN равен треугольнику АВМ, значит АМ = AN = a√5/2.

В треугольнике CMN МС = а/2, CN а/2, угол С = 90°. Найдем сторону MN по теореме Пифагора:

MN² = MC² + CN² = (a/2) ² + (a/2) ² = a²/4 + a²/4 = a²/2.

MN = √ (a²/2) = а/√2.

В треугольнике AMN по теореме косинусов:

MN² = AM² + AN² - 2 * AM * AN * cos (MAN).

(а/√2) ² = (a√5/2) ² + (a√5/2) ² - 2 * a√5/2 * a√5/2 * cos (MAN).

a²/2 = (5a²) / 4 + (5a²) / 4 - 2 * (5a²) / 4 * cos (MAN).

(5a²) / 2 * cos (MAN) = (5a²) / 2 - a²/2.

(5a²) / 2 * cos (MAN) = 2a².

cos (MAN) = 2a² : (5a²) / 2 = 2a² * 2 / (5a²) = 4/5 = 0,8.

Отсюда угол MAN = arccos (0,8).