Как вписать квадрат в полукруг? Так чтобы одна его сторона была частью прямой линии, а а другая касалась дуги вершинами.

Рассматривая чертёж, ссылка на который дан в примечаниях, видно, что сторона вписанного в полукруг квадрата равна радиусу полукруга.

Для построения и нахождения стороны квадрата, имея чертёж полукруга, необходимо и достаточно построить углы, равные 60 градусам по обе стороны от центра полукруга. Для этого раствором циркуля, равным радиусу полукруга делаем засечки от концов диаметра, получая таким образом дуги в 60 градусов. Эти точки и есть две стороны квадрата на полуокружности.

Две точки на диаметре можно получить, опустив перпендикуляры из полученных точек известным способом.