Сумма двух натуральных чисел равна 210. Докажите, что их произведение не делится на 210.

1. Пусть сумма натуральных чисел m и n равна 210:

m + n = 210.

Докажем, что их произведение не кратно 210.

2. Предположим, что утверждение не верно, т. е. произведение m и n делится на 210. Поскольку число 210 четное, то хотя бы одно из чисел должно быть четным. Без ущерба общности допустим, что это - число m:

m = 2k.

Тогда для n получим:

n = 210 - m = 210 - 2k = 2 (105 - k) - четное число.

3. Аналогично можем рассуждать для всех простых делителей числа 210 = 2 * 3 * 5 * 7. В итоге получим, что каждое из чисел m и n делится на 210, что невозможно. Противоречие.

Что и требовалось доказать.