Найди все трёхзначные числа, у которых сумма первой и второй цифр в 10 раз больше суммы второй и третьей цифр.

Решение.

Пусть дано некоторое трёхзначное число а, у которого х десятков, у единиц и z сотен, то есть это число имеет разрядное разложение а = z ∙ 100 + у ∙ 10 + х. Из условия задачи известно, что у этого числа сумма первой и второй цифр в 10 раз больше суммы второй и третьей цифр, то есть z + у = 10 ∙ (у + х). Поскольку цифры z < 9 и у < 9, то z + у < 18, тогда и 10 ∙ (у + х) < 18; получаем у + х < 1,8. Такое может быть, только если у = 0, х = 1 или у = 1, х = 0. Отсюда получаем два уравнения: z + 0 = 10 ∙ (0 + 1) или z + 1 = 10 ∙ (1 + 0). Решая их, находим, что z = 10 - не удовлетворяет условию задачи, или z = 9. Значит, искомое трёхзначное число: а = 910.

Ответ: искомое трёхзначное число равно 910.