решить в натуральных числах уравнение а^b+b^a=2011

Так как a и b - натуральные числа, то a ≠ 0 и b ≠ 0.

Тогда минимальное a = 1. Для него a^b = 1^b = 1.

Отсюда 2011 - 1 = b^1 = b, следовательно, b = 2010.

Аналогично, b может равняться 1, тогда b^a = 1 и a^1 + 1 = 2011, отсюда a = 2010.

Проверим наличие других натуральных корней. Пусть a = 2. Тогда 2^b + b^2 = 2011. Подбором получаем, что при b < 10:

2^b + b^2 11 результат больше 2011 (2^11 + 11^2 = 2169)

Для a = 3 "точка пересечения" находится между 6 и 7 (3^6 + 6^3 = 945; 3^7 + 7^3 = 2530).

Для a = 4 - между 5 и 6. Для 5 - между 4 и 5. Для 6 - между 3 и 4. Дальше проверять до 2010 включительно не имеет смысла, так как уравнение симметрично относительно a и b.

Ответ: a = 1; b = 2010 либо a = 2010; b = 1.