Найти наименьшее значение функции y=x^2+25/x на промежутке [1; 10]

1. Производная функции:

y = x^2 + 25/x; y' = 2x - 25/x^2 = (2x^3 - 25) / x^2.

2. Критические точки:

y' = 0; (2x^3 - 25) / x^2 = 0; 2x^3 - 25 = 0; 2x^3 = 25; x^3 = 12,5; x = x0 = 12,5^ (1/3) ≈ 2,32 ∈ [1; 10].

3. На промежутке [1; x0] функция убывает, на промежутке [x0; 10] возрастает, следовательно, x0 - точка минимума, в которой и получим наименьшее значение функции на отрезке [1; 10]:

y = x^2 + 25/x; y = (x^3 + 25) / x; ymin = (12,5^ (1/3)) ^3 + 25) / 12,5^ (1/3) = (12,5 + 25) / 12,5^ (1/3) = 37,5/12,5^ (1/3) ≈ 16,16.

Ответ: 16,16.