Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=-¼•x² в промежутке [-2; 4]

Так как перед нами квадратичная функция, графиком ее будет парабола. Проанализируем функцию. Первый (и единственный) коэффициент менее нуля, следовательно ветви параболы направлены вниз. Кроме этого первый коэффициент отвечает за сжатие к оси У или растяжение этих веток. Коэффициенты, отвечающие за смещение вершины параболы по отношению к осям Х и У отсутствуют, следовательно вершина параболы лежит в точке 0 и попадает в промежуток [-2; 4]. Значит максимум будет в точке 0, а минимум в точке х = 4, так как парабола симметрична. Проверим эти утверждения традиционным способом, взяв производную от функции, приравняв ее нулю и найдя значения функции на концах отрезка и в вершине:

у = - ¼ * x²;

у' = - ¼ * 2 * x = - 0,5 * х.

- 0,5 * х = 0;

х = 0;

у = - ¼ * x² = - ¼ * 0 = 0;

Вершина параболы и ее максимум в точке 0 с координатами (0; 0).

Значения функции на концах отрезков:

f (-2) = - ¼ * x² = - ¼ * (-2) ² = - ¼ * 4 = - 1;

f (4) = - ¼ * x² = - ¼ * (4) ² = - ¼ * 4 * 4 = - 4;

Следовательно, минимальное значение на отрезке [-2; 4] функция принимает при х = 4.