Докажите, что если а - число чётное, то а/12 + (a^2) / 8 + (a^3) / 24 целое число

1. Четное число 'a' можно представить в виде:

a = 2n.

Тогда данное выражение примет вид:

f (a) = а/12 + a^2/8 + a^3/24; f (2n) = 2n/12 + (2n) ^2/8 + (2n) ^3/24; f (2n) = n/6 + 4n^2/8 + 8n^3/24.

2. Сократим дроби и приведем к общему знаменателю:

f (2n) = n/6 + n^2/2 + n^3/3; f (2n) = n/6 + 3n^2/6 + 2n^3/6; f (2n) = (n + 3n^2 + 2n^3) / 3.

3. Вынесем множитель n за скобки и преобразуем выражение:

f (2n) = n (1 + 3n + 2n^2) / 3; f (2n) = n (2n^2 + 3n + 1) / 3; f (2n) = n (3n^2 + 3n + 1 - n^2) / 3; f (2n) = n (3n (n + 1) - (n^2 - 1)) / 3; f (2n) = n^2 (n + 1) - (n - 1) * n * (n + 1) / 3.

4. В числителе - 3 последовательных числа, одно из которых делится на 3, значит, выражение принимает целые значения. Что и требовалось доказать.