Найдите все простые числа p, для которых существует такое натуральное n, что p (p+n) + p = (n+1) в кубе

Рассмотрим исходное выражение:

p * (p + n) + p = (n + 1) ^3,

p * (p + n + 1) = (n + 1) ^3.

Так как p - простое число, то p > 1 и (n + 1) ^3 должно

делиться на p.

Если (n + 1) ^3 делится на p, то

n + 1 = p * k, где k - натуральное число. Тогда:

p * (p + p * k) = p^3 * k^3,

p^2 * (1 + k) = p^3 * k^3,

1 + k = p * k^3,

p = (1 + k) / k^3.

Так как k - натуральное число, то k > = 1. Тогда:

p = (1 + k) / k^3 = 1 / k^3 + 1 / k^2 < = 1 + 1 = 2.

Поэтому, единственное простое число, удовлетворяющее условию задачи, есть 2.

Ответ: 2.