1) Существует ли такие натуральные числа m и n, что 0

1. Решим двойное неравенство в натуральных числах:

0 < m/13 - n/8 < 0,01. (1)

Умножим все части неравенства на 8 * 13 = 104:

0 < 8m - 13n < 1,04. (2)

Поскольку 8m - 13n - целое число, то единственное возможное значение, которое может принимать это выражение - единица:

8m - 13n = 1. (3)

Неравенство (3) имеет много решений:

1) n = 3; m = 5; 2) n = 11; m = 18; 3) n = 19; m = 31 и т. д.

2. Если же уменьшим в два раза правую часть, то получим:

0 < m/13 - n/8 < 0,005; 0 < 8m - 13n < 0,52. (4)

В интервале (0; 0,52) нет целых чисел, значит нет целочисленных решений.