4cos^2 x - 4sinx = 5

В уравнении 4cos^2 x - 4sin x = 5 заменим cos^2 x на sin по формуле sin^2 x + cos^2 x = 1. Получим: cos^2 x = 1 - sin^2 x.

4 (1 - sin^2 x) - 4sin x = 5;

4 - 4sin^2 x - 4sin x - 5 = 0;

- 4sin^2 x - 4 sin x - 1 = 0;

введем новую переменную sin x = y;

- 4 у^2 - 4 у - 1 = 0;

4 у^2 + 4 у + 1 = 0;

D = b^2 - 4 ac;

D = 4^2 - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0 - если дискриминант равен 0, то уравнение имеет один корень;

у = - b / (2a);

у = - 4 / (2 * 4) = - 4/8 = - 1/2.

Выполним обратную подстановку:

sin x = - 1/2;

для уравнения sin x = a корни находятся по формуле x = ( - 1) ^k * arcsin a + Пk, k ∈ Z；

x = ( - 1) ^k * arcsin ( - 1/2) + Пk, k ∈ Z;

x = ( - 1) ^k * ( - П/6) + Пk, k ∈Z;

x = ( - 1) ^ (k + 1) * П/6 + Пk, k ∈ Z.

Ответ. ( - 1) ^ (k + 1) * П/6 + Пk, k ∈ Z.