существует ли натуральное число, остаток от деления которого на 9 равен 7, а остаток от деления на 3 равен 2

Нет, такого натурального числа не существует. Проверим и докажем это.

Во-первых, возьмём число, которое делится на 9 и в остатке получает 7. Для этого возьмём число, делящееся на 9 без остатка, и прибавим 7:

9 + 7 = 16.

Действительно:

16 : 9 = 1 (7 в остатке).

А теперь разделим то же самое число на 3:

16 : 3 = 5 (1 в остатке).

Возьмём другое такое число, например, 18 + 7 = 25.

Действительно:

25 : 9 = 2 (7 в остатке).

Но:

25 : 3 = 8 (1 в остатке).

Таким образом, число, у которого при делении на 9 получается остаток 7, при делении на 3 всегда имеет остаток 1.