Пусть а+b=2 доказать, что а^4+b^4 больше или равно2

Заметим, что:

(a - b) ^2 > = 0, a^2 + b^2 - 2 * a * b >=0, a^2 + b^2 > = 2 * a * b для любых a, b.

Тогда получаем:

a + b = 2,

(a + b) ^2 = 4,

a^2 + b^2 + 2 * a * b = 4,

a^2 + b^2 + a^2 + b^2 > = 4,

2 * (a^2 + b^2) > = 4,

a^2 + b^2 > = 2,

(a^2 + b^2) ^2 > = 4,

a^4 + b^4 + 2 * a^2 * b^2 > = 4.

Используем полученное выше неравенство с^2 + d^2 > = 2 * с * d при с = a^2 и d = b^2:

a^4 + b^4 > = 2 * a^2 * b^2. Тогда:

a^4 + b^4 + 2 * a^2 * b^2 > = 4,

a^4 + b^4 + a^4 + b^4 > = 4,

2 * (a^4 + b^4) > = 4,

a^4 + b^4 > = 2, что и требовалось доказать.