Производная функции tgx (cosx+2)

Найдем производную функции y = tg x * (cos x + 2).

Для того, чтобы найти производную функции y = tg x * (cos x + 2) используем формулы производной:

1) tg ' x = 1/cos ^ 2 x;

2) cos ' x = - sin x;

3) C ' = 0;

4) (x + y) = x ' + y ';

5) (x * y) ' = x ' * y + x * y';

Тогда получаем:

y ' = (tg x * (cos x + 2)) ' = tg ' x * (cos x + 2) + (cos x + 2) ' * tg x = 1/cos ^ 2 x * (cos x + 2) + ( - sin x + 0) * tg x = (cos x + 2) / cos ^ 2 x - sin x * tgx = (cos x + 2) / cos ^ 2 x - sin x * sin x/cos x = (cos x + 2 - sin ^ 2 x * cos x) / cos ^ 2 x.

Найдем производную по правилу "производной произведения"

Функция y (x) = tg (x) * (cos (x) + 2) представляет собой произведение двух функций.

Правило для нахождения производной произведения функций следующее:

(U (x) * V (x)) ' = U' (x) * V (x) + U (x) * V' (x). Следовательно, нужно:

Выделить функции множители U (x) и V (x); По отдельность найти производные этих функций U' (x) и V' (x); Записать конечный результат в соответствии с представленным правилом.

Пусть U (x) = tg (x), V (x) = cos (x) + 2.

Для функции U (x) : производная от тангенса - это табличная производная U' (x) = 1 / cos ^2 (x), хотя может быть вычислена и по правилу производной от частного двух функций.

Для функции V (x) : вспоминаем, что производная суммы равна сумме производных и находим производную каждого слагаемого. Производная от cos (x) ' = - sin (x), производная от константы равна нулю. В итоге V' (x) = - sin (x)

Запишем выражение U' (x) * V (x) + U (x) * V' (x):

(1 / cos ^2 (x)) * (cos (x) + 2) - sin (x) * tg (x).

Раскроем скобки и представим tg (x) как sin (x) / cos (x):

1 / cos (x) + 2 / cos ^2 (x) - sin ^2 (x) / cos (x).

Заметим, что две дроби имеют одинаковый знаменатель, запишем их в виде одной дроби:

(1 - sin ^2 (x)) / cos (x) + 2 / cos ^2 (x).

Из тригонометрии известно, что 1 - sin ^2 (x) = cos (x).

В итоге получаем:

cos (x) + 2 / cos ^2 (x).

Решение с преобразованием исходного выражения

Более простым оказывает решение, где сначала проводятся преобразования выражения.

Для начала раскроем скобки:

tg (x) * (cos (x) + 2) = tg (x) * cos (x) + 2 * tg (x).

Представим tg (x) как отношение sin (x) / cos (x):

sin (x) * cos (x) / cos (x) + 2 * tg (x).

Сокращаем дробь и получаем:

sin (x) + 2 * tg (x).

Теперь найдем производную. Производная от суммы равна сумме производных. Производные от обеих функции являются табличными: sin (x) ' = cos (x); tg (x) ' = 1/cos ^2 (x). Результат совпадает с решением первым способом.

Ответ [tg (x) * (cos (x) + 2) ]' = cos (x) + 2 / cos ^2 (x).