Колонна солдат длины L движется с постоянной скоростью по шоссе. Курьер из конца колонны отправился в её начало. Достигнув начала колонны, он тут же повернул обратно и пошёл в конец колонны со скоростью в N раз большей. Известно, что скорость курьера при движении из конца в начало M раз больше скорости колонны. Определите путь колонны за то время, которое курьер потратил на путь в оба конца, если L=200 м, N=2, M=1,5

Если колонна длиной L м, то курьеру, чтобы достигнуть начало колонны, нужно пройти ее до первого солдата.

Если скорость колонны равна v_к, то скорость курьера при движении вдоль колонны равна:

v_г = М * v_к;

Скорость сближения курьера и первого в колонне солдата равна:

v_г - v_к = М * v_к - v_к = v_к * (М - 1);

Время, которое потратит курьер на прохождение всей колонны вперед составит:

t_вперед = s / v = L / v_к * (М - 1);

Скорость курьера при движении вдоль колонны на обратном пути равна:

v_го = N * v_к;

Скорость сближения курьера и последнего в колонне солдата равна:

v_го + v_к = N * v_к + v_к = v_к * (N + 1);

Время, которое потратит курьер на прохождение колонны вперед составит:

t_назад = s / v = L / v_к * (N + 1);

Общее время, которое потратил курьер на прохождение колонны вперед и назад:

t_вперед + t_назад = L / v_к * (М - 1) + L / v_к * (N + 1) = L * ((1 / v_к * (М - 1)) + (1 / v_к * (N + 1)) = L * ((N + 1) + (М - 1)) / (v_к * (М - 1) * (N + 1)) = L * (N + М) / (v_к * (М - 1) * (N + 1));

За указанное время колонна продвинется на расстояние:

s = v * t = v_к * L * (N + М) / (v_к * (М - 1) * (N + 1)) = L * (N + М) / ((М - 1) * (N + 1));

Если L = 200 м, N = 2, а М = 1,5, тогда путь, который проделала колонна за время движения курьера составит:

s = L * (N + М) / ((М - 1) * (N + 1)) = 200 * (2 + 1,5) / ((1,5 - 1) * (2 + 1)) = 200 * 3,5 / (0,5 * 3) = 1400 / 3 = 466 2/3 м.

Ответ: путь колонны за время движения курьера составил: 466 2/3 м.