Найдите наибольшее натуральное число n, для которого выполнено неравенство 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ < 2016.

1. Сначала найдем наибольшее значение n, удовлетворяющее неравенству:

n^3 < 2016; (1)

1) 10^3 = 1000 < 2016; 2) 11^3 = 1331 < 2016; 3) 12^3 = 1728 <2016; 4) 13^> 2016.

2. Проверим заданное неравенство для двух членов, начиная с наибольшего решения неравенства (1):

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 < 2016; (2)

1) n = 12;

12^3 + 11^3 = 1728 + 1331 = 3059 > 2016;

2) n = 11;

11^3 + 10^3 = 1331 + 1000 = 2331 > 2016;

3) n = 10;

10^3 + 9^3 = 1000 + 729 = 1729 < 2016.

3. Теперь проверяем для трех и остальных членов:

1) 10^3 + 9^3 + 8^3 = 1000 + 729 + 512 = 2241 > 2016; 2) 9^3 + 8^3 + 7^3 + 6^3 + 5^3 + 4^3 + 3^3 + 2^3 + 1^3 = 729 + 512 + 343 + 216 + 125 + 64 + 27 + 8 + 1 = 2025 > 2016.

Очевидно, n = 8 - наибольшее подходящее значение.

Ответ: 8.