В турнире играли 6 шахматистов, по одной партии с каждым. Иванов набрал 4 очка и занял 1-ое место? Петров занял 2-ое место? Сидоров и Константинов разделили3-4 места. Михайлов занял 5-ое место, а Николаев, занявший 6-ое место, выиграл у Константинова. 5 партий закончились вничью, причем Петров сделал только одну ничью. Восстановите результаты всех партий.

1. Пусть:

A1 = Иванов; A2 = Петров; A3 = Сидоров; A4 = Константинов; A5 = Михайлов; A6 = Николаев; Si - набранные очки i-го шахматиста; P (Ai; Aj) = (xi; xj) - исход игры между Ai и Aj шахматистами: (0; 1), (0,5; 0,5) или (1; 0).

2. Количество сыгранных партий равно числу сочетаний из 6 по 2:

N = С (6, 2) = 15.

Общее число набранных очков также 15:

S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 = 15;

1 ≤ S6 < S5 < S4 = S3 < S2 < S1 = 4;

3. Рассмотрим случаи:

1) S3 = S4 = 2, тогда:

S5 = 1,5; S6 = 1; S5 + S6 = 2,5; S2 = S - (S1 + S3 + S4 + S5 + S6); S2 = 15 - (4 + 2 + 2 + 2,5); S2 = 4,5 > S1 - невозможно.

2) S3 = S4 = 3, тогда:

S2 = 3,5; S5 + S6 = S - (S1 + S2 + S3 + S4); S5 + S6 = 15 - (4 + 3,5 + 3 + 3); S5 + S6 = 1,5 - невозможно.

3) Значит, S3 = S4 = 2,5, тогда:

S5 + S6 + S2 = S - (S1 + S3 + S4); S5 + S6 + S2 = 15 - (4 + 2,5 + 2,5); S5 + S6 + S2 = 6. (1)

4. Петров сделал только одну ничью:

S2 = 3,5. (2)

Из уравнений (1) и (2) получим:

S5 + S6 + 3,5 = 6; S5 + S6 = 2,5; = > S6 = 1; S5 = 1,5.

Таким образом, игроки набрали следующие очки:

S1 = 4; S2 = 3,5; S3 = S4 = 2,5; S5 = 1,5; S6 = 1.

5. В пяти партиях с участием Николаева не было ничейных результатов, Петров и Михайлов сделали по одной ничьей, а всего было 5 ничьих. Значит:

P (A1; A3) = (0,5; 0,5); P (A1; A4) = (0,5; 0,5); P (A3; A4) = (0,5; 0,5).

А поскольку Петров проиграл только Иванову, значит, Константинов выиграл у Михайлова:

P (A4; A5) = (1; 0); P (A2; A4) = (0,5; 0,5); P (A5; A3) = (0,5; 0,5).

6. В итоге получим:

P (A1; A2) = (1; 0); P (A1; A3) = (0,5; 0,5); P (A1; A4) = (0,5; 0,5); P (A1; A5) = (1; 0); P (A1; A6) = (1; 0). P (A2; A1) = (0; 1); P (A2; A3) = (1; 0); P (A2; A4) = (0,5; 0,5); P (A2; A5) = (1; 0); P (A2; A6) = (1; 0). P (A3; A1) = (0,5; 0,5); P (A3; A2) = (0; 1); P (A3; A4) = (0,5; 0,5); P (A3; A5) = (0,5; 0,5); P (A3; A6) = (1; 0). P (A4; A1) = (0,5; 0,5); P (A4; A2) = (0,5; 0,5); P (A4; A3) = (0,5; 0,5); P (A4; A5) = (1; 0); P (A4; A6) = (0; 1). P (A5; A1) = (0; 1); P (A5; A2) = (0; 1); P (A5; A3) = (0,5; 0,5); P (A5; A4) = (0; 1); P (A5; A6) = (1; 0). P (A6; A1) = (0; 1); P (A6; A2) = (0; 1); P (A6; A3) = (0; 1); P (A6; A4) = (1; 0); P (A6; A5) = (0; 1).