Вася выписал сто чисел: 11, 1212, 123123, 12341234, ..., 123 ...9899100123 ...9899100. Сколько из них делится на 3

1. Обозначим данную последовательность чисел через an. Тогда для суммы 2n чисел, из которых состоит n-й член (не сумма цифр), получим:

Sn = 2 * n (n + 1) / 2 = n (n + 1). (1)

2. Поскольку делимость числа на 3 определяется суммой его цифр, то числа an и Sn одновременно делятся или не делятся на 3.

3. Из равенства (1) следует, что Sn делится на 3, если среди n или n + 1 будет число, кратное 3:

n = 3k + 1, k = 0, 1, 2, ... (2)

4. Среди чисел от 1 до 100 ровно 34 числа удовлетворяют этому условию:

1; 4; ...; 97; 100.

Ответ: 34 числа.