3x-xy+3y=8 x^2+y^2-5x-5y=-12

3x - xy + 3y = 8; x^2 + y^2 - 5x - 5y = - 12.

1) Преобразуем оба уравнения:

3x - xy + 3y = 8; 3x + 3y - xy = 8; 3 (х + у) - ху = 8.

x^2 + y^2 - 5x - 5y = - 12; (х + у) ^2 - 2 ху - 5 (х + у) = - 12.

2) Введем новые переменные, пусть (х + у) = а, ху = в.

Получается система 3 а - в = 8; а^2 - 2 в - 5 а = - 12.

3) Выразим в из первого уравнения и подставим во второе уравнение.

3 а - в = 8; - в = 8 - 3 а; в = 3 а - 8.

а^2 - 2 (3 а - 8) - 5 а = - 12. Решаем уравнение и находим значение а.

а^2 - 6 а + 16 - 5 а + 12 = 0;

а^2 - 11 а + 28 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 11; c = 28;

D = b^2 - 4ac; D = (-11) ^2 - 4 * 1 * 28 = 121 - 112 = 9 (√D = 3);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (11 - 3) / 2 = 8/2 = 4.

а₂ = (11 + 3) / 2 = 14/2 = 7.

4) Найдем значение в: в = 3 а - 8.

а = 4; в = 3 * 4 - 8 = 12 - 8 = 4.

а = 7; в = 3 * 7 - 8 = 21 - 8 = 13.

5) Вернемся к замене (х + у) = а, ху = в.

6) а = 4 и в = 4.

х + у = 4; ху = 4.

Выразим х из первого уравнения и подставим во второе.

х = 4 - у; у (4 - у) = 4; 4 у - у^2 - 4 = 0; - у^2 + 4 у - 4 = 0; у^2 - 4 у + 4 = 0.

D = 16 - 16 = 0; у = 2.

х = 4 - 2 = 2.

Ответ: (2; 2).

7) а = 7 и в = 13.

х + у = 7; ху = 13.

Выразим х из первого уравнения и подставим во второе.

х = 7 - у; у (7 - у) = 13; 7 у - у^2 - 13 = 0; - у^2 + 7 у - 13 = 0; у^2 - 7 у + 13 = 0.

D = 49 - 52 = - 3, нет корней.

Ответ: решение системы (2; 2).