1) x^2+1/x+x/x^2+1=5/2 2) 3 / (x^-2x+1) + 2/1-x^2=1/1+x

1) (x^2 + 1) / x + x / (x^2 + 1) = 5/2.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю:

((x^2 + 1) (x^2 + 1) + x * х) / х (x^2 + 1) = 5/2;

(x^4 + 2x^2 + 1 + x^2) / х (x^2 + 1) = 5/2;

(x^4 + 3x^2 + 1) / х (x^2 + 1) = 5/2;

по правилу пропорции:

2 (x^4 + 3x^2 + 1) = 5 х (x^2 + 1);

2x^4 + 6x^2 + 2 = 5x^3 + 5 х;

2x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5 х + 2 = 0.

Разложим многочлен на множители при помощи схемы Горнера:

Выписываем коэффициенты: 2, - 5, 6, - 5, 2.

Выписываем делители свободного члена (2) : 1, - 1, 2, - 2.

Пробуем 1: 1 * 2 + (-5) = - 3; 1 * (-3) + 6 = 3; 1 * 3 + (-5) = - 2; 1 * (-2) + 2 = 0 (подходит).

Первая скобка будет (х - 1), во вторую собираем новый многочлен с новыми коэффициентами, понижая степень на 1:

(х - 1) (2x^3 - 3x^2 + 3 х - 2).

Разложим (2x^3 - 3x^2 + 3 х - 2) на множители:

Коэффициенты: 2, - 3, 3, - 2.

Делители свободного члена (-2) : 1, - 1, 2, - 2.

Пробуем 1: 1 * 2 + (-3) = - 1; 1 * (-1) + 3 = 2; 1 * 2 + (-2) = 0 (подходит).

Получается уравнение принимает вид (х - 1) (х - 1) (2x^2 - х + 2) = 0.

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

х - 1 = 0; х = 1.

Или 2x^2 - х + 2 = 0; D = (-1) ^2 - 4 * 2 * 2 = 1 - 16 = - 15 (корней нет).

Ответ: х = 1.

2) 3 / (x^2 - 2x + 1) + 2 / (1 - x^2) = 1 / (1 + x).

Разложим (x^2 - 2x + 1) на множители: D = (-2) ^2 - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0 (один корень); х = 2/2 = 1. Значит, (x^2 - 2x + 1) = (х - 1) ^2 = (1 - х) ^2.

Разложим (1 - x^2) на множители: 1 - x^2 = 1^2 - x^2 = (1 - х) (1 + х).

Уравнение принимает вид:

3 / (1 - х) ^2 + 2 / (1 - х) (1 + х) = 1 / (1 + x).

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю.

3 / (1 - х) ^2 + 2 / (1 - х) (1 + х) - 1 / (1 + x) = 0;

(3 (1 + х) + 2 (1 - х) - 1 ((1 - х) ^2)) / (1 - х) ^2 (1 + х) = 0;

(3 + 3 х + 2 - 2x - 1 (1 - 2x + x^2)) / (1 - х) ^2 (1 + х) = 0;

(3 + 3 х + 2 - 2x - 1 + 2x - x^2) / (1 - х) ^2 (1 + х) = 0;

(-x^2 + 3 х + 4) / (1 - х) ^2 (1 + х) = 0.

ОДЗ: (1 - х) ^2 (1 + х) не равно 0, х не равен 1, х не равен - 1.

-x^2 + 3 х + 4 = 0.

Умножим на (-1):

x^2 - 3 х - 4 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 3; х₁ * х₂ = - 4.

Корни равны - 1 (не подходит по ОДЗ) и 4.

Ответ: х = 4.