Сколько существует 25-значных чисел, сумма цифр которых равна четырём?

1. Обозначим цифры каждого разряда 25-значного числа:

n[i], где

i = 1, 2, ..., 25;

n[i] = 0, 1, ..., 9; n[25] ≠ 0.

2. Сумма цифр числа равна 4 в следующих случаях:

a) одна цифра '4'; b) 3 + 1 = 4; c) 2 + 2 = 4; d) 2 + 1 + 1 = 4; e) 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

3. Для каждого случая вычислим количество 25-значных чисел:

a) единственное число: 400 ... 00;

b) 1 + 3 = 4;

n[25] = 3, для цифры '1' возможны 24 позиции; n[25] = 1, для цифры '3' возможны 24 позиции;

всего чисел: 2 * 24 = 48;

c) 2 + 2 = 4;

n[25] = 2, для второй цифры '2' возможны 24 позиции - всего 24 числа.

d) 2 + 1 + 1 = 4:

n[25] = 2, для двух единиц возможны С2 (24) = 24! / (2! * 22!) = 23 * 24 / 2 = 276 позиций; n[25] = 1, для цифр '1' и '2' возможны 2 * С2 (24) = 24 * 23 = 552 позиции;

всего чисел: 276 + 552 = 828;

e) 1 + 1 + 1 + 1 = 4;

n[25] = 1, для трех единиц возможны С3 (24) = 24! / (3! * 21!) = 24 * 23 * 22 / (2 * 3) = 2024 позиции.

4. Количество всех чисел:

1 + 48 + 24 + 828 + 2024 = 2925.