Найти такие значения х, которые удовлетворяют системеsin^2x=1x^2<=25

В задании даны равенство sin²x = 1 и неравенство x² ≤ 25, которых составители задания называют системой и требуют найти такие значения х, которые удовлетворяют системе. Сначала рассмотрим уравнение sin²x = 1, которого, используя формулу sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество) можно переписать в виде 1 - sin²x = 0 или cos²х = 0, откуда cosх = 0. Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением и его решение имеет вид: х = π/2 + π * n, где n∈ Z, Z - множество целых чисел. Теперь рассмотрим неравенство x² ≤ 25, которого можно переписать в виде x² - 5² ≤ 0. Используя формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов), получим неравенство (х - 5) * (х + 5) ≤ 0. Ясно, что последнее неравенство имеет решение - 5 ≤ х ≤ 5 или х ∈ [-5; 5]. Таким образом, для того, чтобы окончательно выполнить требование задания осталось выяснить, какие из найденных решений данного уравнения принадлежат отрезку [-5; 5]. Другими словами, нужно решить следующее двойное неравенство относительно n∈ Z, Z - множество целых чисел: - 5 ≤ π/2 + π * n ≤ 5 или - 5 - π/2 ≤ π * n ≤ 5 - π/2, откуда - (10 + π) / (2 * π) ≤ n ≤ (10 - π) / (2 * π). Нетрудно доказать, что - 3 < - (10 + π) / (2 * π) < - 2 и 1 < (10 - π) / (2 * π) < 2. Учитывая эти неравенства, сможем выписать всевозможные n∈ Z, удовлетворяющие двойному неравенству - 5 ≤ π/2 + π * n ≤ 5. Таковыми являются n = - 2; - 1; 0 и 1, которым соответствуют решения данного уравнения х = π/2 + π * (-2) = - 3 * π/2; х = π/2 + π * (-1) = - π/2; х = π/2 + π * 0 = π/2 и х = π/2 + π * 1 = 3 * π/2.

Ответ: - 3 * π/2; - π/2; π/2 и 3 * π/2.