Найти натуральные значения x и y, которые удовлетворяют уравнению x2+2015=y2

Перепишем данное уравнение в виде у² - х² = 2015. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов). Тогда, получим уравнение (у - х) * (у + х) = Учитывая условие задания о натуральности значений x и y, заключаем, нужно найти такие натуральные значения х и у, чтобы: во-первых, y > х; во-вторых, произведение разности и суммы этих чисел равно 2015. Акцентируя ещё раз натуральность значений x и y, отметим уместность разложения числа 2015 на простые множители. Число 2015 нечётное, то есть, не делится на 2. Оно не делится и на 3, так как сумма его цифр 2 + 0 + 1 + 5 = 8 не делится на 3. Делимость числа 2015 на 5 очевидна. Делим: 2015 : 5 = 403. Ясно, что 403 не делится на 5. Проверка показывает, что оно не делится и на следующие два простых числа: на 7 и на 11. Число 403 делится на 13. Делим: 403 : 13 = 31. Получили простое число. Таким образом, 2015 = 5 * 13 * 31. В результате, наше уравнение приняло вид: (у - х) * (у + х) = 5 * 13 * 31. Этот вид уравнения позволяет выделить следующие 3 возможные случаи выполнения полученного уравнения: а) у - х = 5, у + х = 13 * 31; б) у - х = 13, у + х = 5 * 31 и в) у - х = 31, у + х = 5 * 13. Рассмотрим каждый случай по отдельности. В случае а) система уравнений у - х = 5, у + х = 403 имеет решение х = 199 и у = 204. Аналогично, в случае б) система уравнений у - х = 13, у + х = 155 даст новое решение х = 71 и у = 84. Наконец, в случае в) получим систему уравнений у - х = 31, у + х = 65, которая определит ещё одну пару решений: х = 17, у = 48.

Ответ: х = 199 и у = 204; х = 71 и у = 84; х = 17, у = 48.