Сократима ли дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью дает 1? Рассмотри несколько несколько примеров и докажи подмеченную закономерность.

Приведем примеры.

1. Рассмотрим несократимую дробь 3/17.

Найдем дробь, которая в сумме с дробью 3/17 дает единицу.

1 - 3/17 = 14/17.

Получилась несократимая дробь.

2. Рассмотрим несократимую дробь 7/12.

Найдем дробь, которая в сумме с дробью 7/12 дает единицу.

1 - 7/12 = 5/12.

Получилась несократимая дробь.

3. Рассмотрим несократимую дробь 16/97.

Найдем дробь, которая в сумме с дробью 16/97 дает единицу.

1 - 16/97 = 81/97

Получилась несократимая дробь.

Докажем, что у нас будут всегда получаться несократимые дроби.

Пусть m/q - правильная несократимая дробь.

Найдем дробь, которая в сумме с дробью m/q дает единицу.

1 - m/q = (q - m) / q

Предположим, что дробь (q - m) / q можно сократить.

Тогда выражение q - m имеет общий делитель с числом q. Причем этот делитель является натуральным числом, не равным единице. Обозначим этот делитель через переменную k.

Выражение q - m представляет собой разность. Эта разность делится на k. И уменьшаемое q делится на k. Следовательно, вычитаемое m тоже делится на k.

Вернемся к первоначальной дроби m/q. Числитель m делится на k. И знаменатель q делится на k. Следовательно, дробь m/q можно сократить.

Но мы изначально указали, что дробь m/q является несократимой. Мы получили противоречие. Значит, наше предположение о том, что дробь (q - m) / q можно сократить, является ошибочным. Следовательно, дробь (q - m) / q является несократимой.