Найдите наименьшее натуральное число, которое делиться на какие либо 10 последовательных (т. е подряд идущих) натуральных чисел.

Наименьшее общее кратное

Для любых десяти последовательных натуральных чисел, наименьшим натуральным числом, делящимся на них, является их наименьшее общее кратное (НОК).

Следовательно, необходимо найти такую последовательность из десяти натуральных чисел, для которых наименьшее общее кратное принимает наименьшее значение. Докажем, что наименьшее значение для НОК получится именно для первых десяти натуральных чисел, т. е. для чисел от 1 до 10.

Значение НОК для первых десяти последовательных чисел

Обозначим множество n последовательных натуральных чисел:

M (a, n), где а - первое число в этой последовательности.

Среди первых десяти чисел существует только четыре простых множителя: 2, 3, 5 и 7, причем

множитель 2 встречается в третьей степени в числе 8; множитель 3 встречается во второй степени в числе 9; множитель 5 встречается только в первой степени в числах 5 и 10; множитель 7 встречается только в первой степени в числе 7.

Таким образом, для НОК этой последовательности получим:

НОК (M (1, 10)) = 2^3 * 3^2 * 5 * 7 = 2520.

Значение НОК для любых десяти последовательных чисел

Очевидно, любая последовательность из 10-и чисел содержит:

хотя бы одно число, кратное 8 = 2^3; хотя бы одно число, кратное 9 = 3^2; хотя бы одно число, кратное 5; хотя бы одно число, кратное 7.

Следовательно, можно утверждать, что для любого натурального числа "a" верно неравенство:

НОК (M (a; 10)) ≥ НОК (M (1; 10)) = 2520. (1)

Более того, можно доказать, что это неравенство строгое, т. е. для любой другой последовательности чисел выполняется условие:

НОК (M (a; 10)) > 2520, если a > 1.

Однако это требует дополнительных усилий, а для решения задачи достаточно и нестрогое неравенство (1).

Ответ: 2520.

Поскольку нас интересует наименьшее натуральное число, которое делится на 10 последовательных натуральных чисел, то, очевидно, эти натуральные числа должны быть наименьшими из возможных.

Такими числами являются числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Найдем их наименьшее общее кратное:

НОК (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 2 * 3 * 2 * 5 * 7 * 2 * 3 =

= 6 * 10 * 7 * 6 = 2520.

Ответ: 2520.