Найдите среднее арифметическое натуральных решений неравенств X^2+2ǀxǀ-15=<0

Рассмотрим два случая.

1) х > = 0.

При таких значениях х выполняется соотношение ǀxǀ = х и исходное неравенство принимает вид:

х^2 + 2 х - 15 < = 0.

Решим данное неравенство:

х^2 + 2 х + 1 - 1 - 15 < = 0;

х^2 + 2 х + 1 - 16 < = 0;

х^2 + 2 х + 1 < = 16;

(х + 1) ^2 <=16;

(х + 1) ^2 < = 4^2.

Данное неравенство выполняется при:

-4 < = х + 1 < = 4.

Отнимая 1 от всех частей неравенства, получаем:

-5 = < х = < 3.

Поскольку х > = 0, то х должно удовлетворять неравенству:

0 = < х = < 3.

Натуральными решениями полученного двойного неравенства являются значения х = 1, х = 2 и х = 3.

2) х < 0.

При таких значениях х исходное неравенство не может иметь натуральных решений.

Таким образом, среднее арифметическое натуральных решений исходного неравенства составляет:

(1 + 2 + 3) / 3 = 6/3 = 2.

Ответ: среднее арифметическое натуральных решений данного неравенства равно 2.