Доказать, что функция F (x) является первообразной для функции f (x) F (x) = 3x+sinx-e (в степени 2x) f (x) = 3+cosx-2e (в степени 2x)

1. Дано:

F (x) = 3x + sinx - e^ (2x); f (x) = 3 + cosx - 2e^ (2x).

Заметим, что обе функции определены на всем множестве действительных чисел:

D (f) = R; D (F) = R.

Докажем, что F (x) является первообразной для функции f (x).

2. По определению первообразной, ее производная равна исходной функции. Найдем ее:

F (x) = 3x + sinx - e^ (2x); F' (x) = (3x + sinx - e^ (2x)) '; F' (x) = (3x) ' + (sinx) ' - (e^ (2x)) '; F' (x) = 3 + cosx - e^ (2x) * (2x) '; F' (x) = 3 + cosx - 2e^ (2x) = f (x); F' (x) = f (x).

Что и требовалось доказать.