Доказать, что при любом целом n>=0 сумма 7^ (2n) - 1 делится на 24

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Покажем, что выражение 7²ⁿ - 1 делится на 24 при n = 1.

Подставляя значение n = 1 в выражение 7²ⁿ - 1, получаем:

7^{2 * 1} - 1 = 7² - 1 = 49 - 1 = 48.

Поскольку 48 делится на 24, то и выражение 7²ⁿ - 1 делится на 24 при n = 1.

Предположим, что выражение 7²ⁿ - 1 делится на 24 при n = k.

Покажем, что данное выражение делится на 24 при n = k + 1.

Подставляя значение n = k + 1 в выражение 7²ⁿ - 1, получаем:

7^{2 (k + 1)} - 1 = 7^{2k + 2} - 1 = 49 * 7^2k - 1 = 49 * 7^2k - 49 + 48 = 49 * (7^2k - 1) + 48.

Поскольку выражение 7^2k - 1 делится на 24 согласно предположение индукции, то и сумма 49 * (7^2k - 1) + 48 также делится на 24, так как второе слагаемое в данной сумме также делится на 24.

Таким образом, согласно методу математической индукции мы доказали, что выражение 7²ⁿ - 1 делится на 24 при любом целом n.