Решить уравнение 3x^3-4x^2-5x+2=0

Представим (-5 х) в виде (-3x - 2x).

3x³ - 4x² - 3x - 2x + 2 = 0.

Сгруппируем первое и третье слагаемые, и сгруппируем второе, четвертое и пятое слагаемые.

(3 х³ - 3 х) + (-4 х² - 2 х + 2) = 0.

Из первой скобки вынесем общий множитель 3 х. Из второй скобки вынесем общий множитель (-2).

3 х (x² - 1) - 2 (2x² + x - 1) = 0.

Выражение в первой скобке разложим на множители по формуле а² - в² = (а - в) (а + в), где а = х, в = 1. Выражение во второй скобке разложим на множители по формуле ax² + bx + c = a (x - x1) (x - x2), где х1 и х2 корни квадратного трехчлена.

1) x² - 1 = (x - 1) (x + 1).

2) 2x² + x - 1 = 0;

D = b² - 4ac;

D = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9; √D = 3;

x = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (-1 + 3) / (2 * 2) = 2/4 = 1/2;

x2 = (-1 - 3) / 4 = - 4/4 = - 1.

2x² + x - 1 = 2 (x - 1/2) (x + 1) = (2x - 1) (x + 1).

Подставим разложения в уравнение.

3x (x - 1) (x + 1) - 2 (2x - 1) (x + 1) = 0.

Вынесем за скобку общий множитель (x + 1).

(x + 1) (3x (x - 1) - 2 (2x - 1)) = 0;

(x + 1) (3x² - 3x - 4x + 2) = 0;

(x + 1) (3x² - 7x + 2) = 0.

Произведение двух множителей равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю.

1) х + 1 = 0;

х1 = - 1.

2) 3 х² - 7 х + 2 = 0;

D = (-7) ² - 4 * 3 * 2 = 49 - 24 = 25; √D = 5;

x2 = (7 + 5) / (2 * 3) = 12/6 = 2;

x3 = (7 - 5) / 6 = 2/6 = 1/3.

Ответ. - 1; 1/3; 2.