Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке даёт полный квадрат. Найдите наибольшее такое число.

Пусть двузначное число записывается цифрами a и b - ab.

Представим его в десятичном разложении:

ab = 10 * a + b.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке - ba.

Представим и его в десятичном разложении:

ba = 10 * b + a.

По условию задачи, сумма ab + ba является полным квадратом. Значит, существует такое K,

что

ab + ba = K^2.

Подставим десятичные разложения в это уравнение:

10 * a + b + 10 * b + a = K^2,

11 * (a + b) = K^2.

K^2 должно делиться на 11, а из этого следует, что и K делиться на 11:

K = 11 * N.

Значит,

11 * (a + b) = K^2, 11 * (a + b) = 121 * N^2, (a + b) = 11 * N^2.

Так как, 0 < a < = 9 и 0 < b < = 9, то 0 < a + b < = 18, 0 < 11 * N^2 < = 18, N = 1.

Следовательно, (a + b) = 11 и наибольшее такое число 92.

Ответ: 92.