Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют равенству 3x+7y=84?

Решим поставленную задачу методом перебора. Будем находить решения данного уравнения в натуральных числах, перебирая значения у.

Выражая х через у из данного уравнения, находим: х = (84 - 7*у) / 3. Поскольку х должен быть натуральным числом, то числитель дроби (84 - 7*у) / 3 должен быть кратен 3. В выражении 84 - 7*у число 84 кратно 3, следовательно, вычитаемое 7*у тоже должно быть кратно 3. Поскольку 7 не делится на 3, то выражение 7*у будет кратно 3, если у делится на 3. Таким образом, будем находить решения исходного уравнения, перебирая значения у среди натуральных чисел, кратных 3, начиная с наименьшего такого числа 3.

у = 3, х = (84 - 7*у) / 3 = (84 - 7*3) / 3 = (84 - 21) / 3 = 21;

у = 6, х = (84 - 7*у) / 3 = (84 - 7*6) / 3 = (84 - 42) / 3 = 14;

у = 9, х = (84 - 7*у) / 3 = (84 - 7*9) / 3 = (84 - 63) / 3 = 7;

у = 12, х = (84 - 7*e) / 3 = (84 - 7*12) / 3 = (84 - 84) / 3 = 0;

Все решения исходного уравнения, начиная с у = 12 нам не подходят, поскольку при у = 12 значение х равняется 0 и не является натуральным числом, а при больших значениях у, х становится отрицательным и также не будет являться натуральным числом.

Следовательно, равенству 3x + 7y = 84 удовлетворяют 3 пары натуральных чисел: (21; 3), (14; 6), (7; 9).