Вычислите значение производной функции f (x) в данной точке: f (x) = 5^x/x^2+1, f ' (1)

Вычислим производную функции в точке f ' (1), где f (x) = 5^x / (x^2 + 1).

1) Сначала найдем производную функции.

Для того, чтобы найти производную функции, используем формулы производной:

(x - y) ' = x' - y '; (x^n) ' = n * x^ (n - 1); (a^x) ' = a^x * ln a; x ' = 1; C ' = 0.

Тогда получаем:

f ' (x) = (5^x / (x^2 + 1)) ' = (5^x * ln 5 * (x^2 + 1) - 5^x * (2 * x + 0)) / (x^2 + 1) ^2 = (5^x * ln 5 * (x^2 + 1) - 2 * x * 5^x) / (x^2 + 1);

2) Найдем значение производной функции в точке х = 1.

f (1) = (5^1 * ln 5 * (1^2 + 1) - 2 * 1 * 5^1) / (1^2 + 1) = (5 * 1.6 * 2 - 2 * 5) / 2 = 5 * 1.6 - 5 = 5 * (1.6 - 1) = 5 * 0.6 = 3;

Значит, f ' (1) = 3.