10^x+11^x+12^x=13^x+14^x

Прежде всего, заметим, что данное уравнение относится к особенным показательным уравнениям. Особенность уравнения 10^x + 11^x + 12^x = 13^x + 14^x заключается в том, что способ приведения всех степеней к единой основе или логарифмирование тут бессильны, так как обе части уравнения представляют собой суммы. следовательно, нужно придумать нечто оригинальное. Попытаемся, используя свойства показательной функции, как-то подобрать ключ к решению данного уравнения. Поделим обе части данного уравнения на 12^x. Тогда, имеем: (10/12) ^x + (11/12) ^x + (12/12) ^x = (13/12) ^x + (14/12) ^x или (5/6) ^x + (11/12) ^x + 1 = (13/12) ^x + (7/6) ^x. Легко заметить, что при х = 0, левая часть уравнения равна 3, а правая - 2, кроме того 3 > 2. Поскольку обе степени, расположенные в левой части уравнения, имеют положительные и меньшие чем 1 основания, то функция у_L (х) = (5/6) ^x + (11/12) ^x + 1 является строго убывающей функцией. Аналогично, поскольку обе степени, расположенные в правой части уравнения, имеют большие чем 1 основания, то функция у_R (х) = (13/12) ^x + (7/6) ^x является строго возрастающей функцией. То есть, большая сторона уменьшается, а меньшая сторона увеличивается. Очевидно, что увеличивая значение неизвестной х, можно найти такое её значение, при котором обе стороны уравнения примут равные значения. Единственность такого значения х также очевидна. Попробуем значение х = 1. Имеем: у_L (1) = (5/6) ¹ + (11/12) ¹ + 1 = (10 + 11 + 12) / 12 = 33/12 = 2,75 и у_R (1) = (13/12) ¹ + (7/6) ¹ = (13 + 14) / 12 = 27/12 = 2,25. Разность значений при х = 0 была равна 3 - 2 = 1, она при х = 1 уменьшилась и стала равной 2,75 - 2,25 = 0,5. Теперь попробуем значение х = 2. Имеем: у_L (2) = (5/6) ² + (11/12) ² + 1 = (25 * 4 + 121 + 144) / 144 = 365/144 = 2⁷⁷/₁₄₄ и у_R (2) = (13/12) ² + (7/6) ² = (169 + 49 * 4) / 144 = 365/144 = 2⁷⁷/₁₄₄. Прекрасно! Уравнение решено.

Ответ: х = 2.