1. расположите числа ³√4,√3,⁴√5 в порядке возрастания2. Внесите множитель под знак корня: 2a⁴√3a, a>0.

Требуется сравнить и расположить в порядке возрастания данные 3 величины. Анализ этих величин показывает, что все они даны в виде корней, причем у них разные показатели корней. Значит, можно пользоваться свойствами корней. Прежде всего, воспользуемся следующим свойством корней: "Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n". Это свойство корней нам поможет сравнить данные корни, приводя их к общей степени корня (подобно тому, как для сравнения дробей находили общий знаменатель). Находим наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 4. Ясно, что НОК (3; 2; 4) = 12. Поскольку, теперь все корни будут иметь одинаковые степени корней, то можно писать только подкоренные выражения и сравнить их. Для первого корня ³√4: подкоренное выражение (число 4) нужно возвести в 12 : 3 = 4-ую степень; 4⁴ = 4 * 4 * 4 * 4 = 256. Для второго корня √3: подкоренное выражение (число 3) нужно возвести в 12 : 2 = 6-ую степень; 3⁶ = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 729. Для третьего корня ⁴√5: подкоренное выражение (число 5) нужно возвести в 12 : 4 = 3-ую степень; 5³ = 5 * 5 * 5 = 125. Теперь приведём ещё одно свойство корня как функция. На промежутке [0; + ∞) функция возрастает. Следовательно, получим следующее расположение данных корней в порядке возрастания: ⁴√5; ³√4; √3. Для того, чтобы внести множитель (2 * a) под знак корня, сначала представим это выражение в виде 2 * a = ⁴√ (2 * a) ⁴ (к этому действию комментарии излишни). Воспользуемся теперь, следующим свойством корня: "Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей". Следовательно, 2 * a * ⁴√ (3 * a) = ⁴√ (2 * a) ⁴ * ⁴√ (3 * a) = ⁴√[ (2 * a) ⁴ * (3 * a) ] = ⁴√ (2⁴ * a⁴ * 3 * a) = ⁴√ (48 * a⁵).

Ответы: 1. ⁴√5; ³√4; √3. 2. 2 * a * ⁴√ (3 * a) = ⁴√ (48 * a⁵).