3x16^{x} + 2x81^{x}=5x36^{x}

3 * 16^x + 2 * 81^x = 5 * 36^x.

Представим степени в виде степеней с основанием 4 или 9:

3 * (4²) ^x + 2 * (9²) ^x = 5 * (4 * 9) ^x.

3 * 4^2x + 2 * 9^2x = 5 * 4^x * 9^x.

Перенесем все в левую часть:

3 * 4^2x - 5 * 4^x * 9^x + 2 * 9^2x = 0.

Поделим все уравнение на 9^2x:

3 * 4^2x/9^2x - 5 * 4^x * 9^x/9^2x + 2 * 9^2x/9^2x = 0.

3 * (4/9) ^2x - 5 * 4^x/9^x + 2 = 0.

3 * (4/9) ^2x - 5 * (4/9) ^x + 2 = 0.

Введем новую переменную, пусть (4/9) ^x = а.

3 а² - 5 а + 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-5) ² - 4 * 3 * 2 = 24 - 24 = 1 (√D = 1);

х₁ = (5 - 1) / (2 * 3) = 4/6 = 2/3.

х₂ = (5 + 1) / 6 = 6/6 = 1.

Возвращаемся к замене (4/9) ^x = а.

а = 2/3; (4/9) ^x = 2/3; (2/3) ^{2 х} = (2/3) ¹; 2 х = 1; х = 1/2.

а = 1; (4/9) ^x = 1; (4/9) ^x = (4/9) ⁰; х = 0.

Ответ: корни уравнения равны 0 и 1/2.