Периметр прямоугольного треугодьника равен 84 см, а его гипотинуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет у см. Из условия, сумма сторон прямоугольного треугольника, то есть его периметр равен 84 см. А гипотенуза равна 37 см. Составим уравнение и выразим одну сторону:

Р = х + у + z;

х + у + 37 = 84;

у = 84 - 37 - х;

у = 47 - х;

Воспользуемся теоремой Пифагора и составим уравнение:

z² = x² + y²;

(x² + (47 - х) ²) = 37²;

(x² + (47 - х) ²) = 1369;

x² + 2209 - 94 х + х² = 1369;

2x² - 94 х + 2209 - 1369 = 0;

2x² - 94 х + 840 = 0;

x² - 47 х + 420 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 47) ² - 4 * 1 * 420 = 2209 - 1680 = 529;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (47 - √529) / 2 * 1 = (47 - 23) / 2 = 24 / 2 = 12;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (47 + √529) / 2 * 1 = (47 + 23) / 2 = 70 / 2 = 35;

Найдем вторую сторону:

у = 47 - х

Если х1 = 12 см, то у1 = 47 - 12 = 35 см;

Если х2 = 35 см, то у2 = 47 - 35 = 12 см;

Найдем площадь прямоугольника:

S = 1/2xy;

S = 1/2 * 12 * 35 = 210 см²;

Ответ: площадь прямоугольного треугольника 210 см².