Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади. Чему ровна его площадь?

Обозначим стороны прямоугольника через А и В.

Предположим, что периметр прямоугольника зафиксирован:

P = 2 * (A + B),

A + B = P / 2,

B = P / 2 - A.

Площадь прямоугольника равна:

S (A) = A * B = A * (P / 2 - A) =

= - A^2 + 2 * P / 4 * A - P^2 / 16 + P^2 / 16 =

= P^2 / 16 - (A - P / 4) ^2 < = P^2 / 16.

Следовательно, функция S (A) достигает максимума P^2 / 16

при А = P / 4, B = P / 2 - P / 4 = P / 4.

Площадь прямоугольника при фиксированном периметре достигает наибольшего значения, когда прямоугольник является квадратом.

В нашем случае,

P = 26 * 5 = 130 см и прямоугольник максимальной площади -

это квадрат со стороной 130/4. Значит его площадь:

S = (130/4) ^2 = 1056,25.