Требуется изготовить аквариум, объем которого 36 дм2. Причем ребра основания должны относиться как 1:2. Каковы должны быть размеры всех ребер, чтобы на изготовление стекла ушло наименьшее количество стекла?

Объём аквариума вычисляется по формуле:

V = a * b * c,

площадь стенок:

S = 2 * (a * b + b * c + a * c).

По условию имеем b / a = 1 / 2, поэтому b = а / 2.

V = a * b * c = a * (a / 2) * c = 36 дм²,

откуда:

с = 72 / а².

Подставим найденные значения b и с в формулу для площади стенок аквариума:

S = a² + 72 / a + 144 / a.

Требуется минимизировать функцию S (a).

Найдём её производную и приравняем к нулю, найдём точки экстремума:

S' (a) = 2 * a - 72 / a² - 144 / a² = 0,

a = ³√108 = 3 * ³√4.

При проходе через эту точку S' (a) меняет знак с "минуса" на "плюс", поэтому функция S (a) сперва убывает, а потом возрастает. Точка а минимизирует общую площадь аквариума.

Найдём стороны аквариума:

а = 3 * 3√4,

b = 3 * 3√4 / 2,

с = 72 / (9 * (³√4) ²).