Найти диферинциалы 1 и2 порядка y=arccos 3x

Рассмотрим функцию y = arccos (3 * x). По требованию задания вычислим дифференциалы 1-го и 2-го порядка. Сначала найдём дифференциал первого порядка функции f (x) = arccos (3 * x). Согласно определению, искомый дифференциал равен d (f (x)) = d (arccos (3 * x)). Используем правило дифференцирования сложной функции и формулы (arccosx) Ꞌ = - 1 / √ (1 - х²); (С * f) = C * f Ꞌ и (xⁿ) Ꞌ = n * xⁿ ^{- 1}. Тогда, f Ꞌ (x) = (arccos (3 * x)) Ꞌ = (-1 / √ (1 - (3 * х) ²)) * (3 * x) Ꞌ = - 3 / √ (1 - 9 * х²). Значит, d (f (x)) = (-3 / √ (1 - 9 * х²)) dx. Теперь найдём дифференциал второго порядка функции y = arccos (3 * x). Для вычисления дифференциала второго порядка функции y = f (x) применим формулу d²y = f ꞋꞋ (x) dx². Значит, нужно найти f ꞋꞋ (x). Воспользуемся результатом п. 2. Имеем: f ꞋꞋ (x) = (f Ꞌ (x)) Ꞌ = (-3 / √ (1 - 9 * х²)) Ꞌ = - 3 * ((1 - 9 * х²) ^-1/2) Ꞌ = - 3 * (-1/2) * (1 - 9 * х²) ^{-1/2 - 1} * (1 - 9 * х²) Ꞌ = 3 * (1 - 9 * х²) ^-3/2 * (0 - 9 * 2 * х) = - 27 * x / √ (1 - 9 * х²) ³. Следовательно, d²y = (-27 * x / √ (1 - 9 * х²) ³) dx².