25^ (x+1) + 49 * 5^x - 2=0

25^ (x + 1) + 49 * 5^2 - 2 = 0,

5 ^ (2 * (x + 1)) + 49 * 5^x - 2 = 0,

5 ^ (2x + 2) + 49 * 5^x - 2 = 0,

25 * 5^ (2x) + 49 * 5^x - 2 = 0,

введем подстановку t = 5^x; t > 0;

25t^2 + 49t - 2 = 0,

D = 49^2 + 4 * 25 * 2 = 2401 + 200 = 2601 = 51^2;

t1 = ( - 49 - 51) / 50 = - 2; а t > 0 по условию, t1 не удовл. свойствам показательной функции;

t2 = ( - 49 + 51) / 50 = 1 / 25.

Вернемся к подстановке:

5^x = 1 / 25,

5^x = 5^ ( - 2),

x = - 2.

Ответ: - 2.