Найдите наибольшее значение выражения: 1) x-3x^2 2) 19 / (x^2-x+5)

1) Представим выражение как функцию у = x - 3x².

Находим производную:

у' = 1 - 3 х.

Находим нули производной функции:

у' = 0; 1 - 3 х = 0.

-3 х = - 1.

х = 1/3.

Определяем знаки производной на промежутках:

(-∞; 1/3) пусть х = 0; у' (0) = 1 - 3 * 0 = 1 (плюс, функция возрастает).

(1/3; + ∞) пусть х = 1; у' (1) = 1 - 3 * 1 = - 2 (минус, функция убывает).

Точка х = 1/3 является точкой максимума.

Вычислим значение функции в этой точке:

у = x - 3x² = 1/3 - 3 * (1/3) ² = 1/3 - 1/3 = 0.

Ответ: наибольшее значение выражения равно 0.

2) Представим выражение как функцию у = 19 / (x² - x + 5).

Находим производную:

у' = (19' (x² - x + 5) - 19 (x² - x + 5) ') / (x² - x + 5) ² = (0 * (x² - x + 5) - 19 (2 х - 1)) / (x² - x + 5) ² = (-38 х + 19) / (x² - x + 5) ².

Находим нули производной функции:

у' = 0; (-38 х + 19) / (x² - x + 5) ² = 0.

x² - x + 5 не равно 0; D = 1 - 20 = - 19 (корней нет, нулей выражения нет).

-38 х + 19 = 0;

-38 х = - 19.

х = 1/2.

Определяем знаки производной на промежутках:

(-∞; 1/2) пусть х = 0; у' (0) = (-38 * 0 + 19) / (0² - 0 + 5) ² = 19/25 (плюс, функция возрастает).

(1/2; + ∞) пусть х = 1; у' (1) = (-38 * 1 + 19) / (1² - 1 + 5) ² = - 19/25 (минус, функция убывает).

Точка х = 1/2 является точкой максимума.

Вычислим значение функции в этой точке:

у (1/2) = 19 / (x² - x + 5) = 19 / ((1/2) ² - 1/2 + 5) = 19/4,5 = 190/45 = 4 10/45.

Ответ: наибольшее значение выражения равно 4 10/45.