Найдите наименьшее целое не равное нулю число T для которого число 12960*T является квадратом целого числа.

Разложим число 12960 на простые множители:

12960 = 5 * 2592 = 5 * 2 * 1296 = 5 * 2 * 2 * 648 = 5 * 2 * 2 * 2 * 324 =

5 * 2 * 2 * 2 * 2 * 162 = 5 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 81 = 5 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3.

Следовательно, число 12960 мы можем записать так: 12960 = 5 * 25 * 34.

Произведение трёх множителей будет квадратом целого числа, если каждый из множителей будет квадратом целого числа.

Так, в нашем случае, 3⁴ = (3 ²) 2.

Если 2⁵ мы домножим на 2, то получим 2⁵ * 2 = 2⁶ = (2 3) 2.

Если 5 домножить на 5, то получим 52.

Таким образом, если 12960 * 2 * 5, то получим 52 * 26 * 3⁴ = (5 * 2 ³ * 3 2) ² = 3602.

Следовательно, Т = 10.