Решите уравнение cosx=cos2x

cos x = cos (2 * x);

cos (2 * x) - cos x = 0;

cos ^ 2 x - sin ^ 2 x - cos x = 0;

cos ^ 2 x - (1 - cos ^ 2 x) - cos x = 0;

cos ^ 2 x - 1 + cos ^ 2 x - cos x = 0;

2 * cos ^ 2 x - cos x - 1 = 0;

Пусть cos x = a, где a принадлежит [ - 1; 1 ]. Тогда получаем:

2 * a ^ 2 - a - 1 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ^ 2 - 4ac = (-1) ^ 2 - 4·2· (-1) = 1 + 8 = 9;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

a1 = (1 - √9) / (2·2) = (1 - 3) / 4 = - 2 / 4 = - 0.5;

a2 = (1 + √9) / (2·2) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1;

Отсюда:

1) cos x = - 1 / 2;

x = + - arccos ( - 1 / 2) + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

x = + - 2 * pi / 3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

2) cos x = 1;

x = 2 * pi * n, где n принадлежит Z.